向量

Vector

$r = (x, y, z)$
向量的模 $| r | = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$

向量的方向余弦：

\begin{array}{r} (\cos α, \cos β, \cos γ) = \frac{(x, y, z)}{| r |} = \frac{r}{| r |} = e_{r} \end{array}

\begin{array}{r} \cos^{2} α + \cos^{2} β + \cos^{2} γ = 1 \end{array}

在数学中是一个定义在向量空间上的二元运算，它将两个向量映射到一个标量。

\begin{aligned} v & = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) \\ w & = (w_{1}, w_{2}, w_{3}) \end{aligned}

\begin{array}{r} v \cdot w = v_{1} w_{1} + v_{2} w_{2} + v_{3} w_{3} \end{array}

向量的正交性：正交性是一个概念，用于描述两个向量在内积空间中垂直的关系。如果两个向量的内积为零，则称这两个向量是正交的。

由两个已知向量来确定另一个向量

\begin{aligned} c = a \times b & = | \begin{array}{c} i & j & k \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{array} | \end{aligned}

几何意义是平行六面体的体积：

\begin{aligned} [\begin{array}{c} a & b & c \end{array}] & = (a \times b) \cdot c = | \begin{array}{c} a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \\ c_{x} & c_{y} & c_{z} \end{array} | \end{aligned}

计算三角形面积

\begin{array}{r} S_{△ A B C} = \frac{1}{2} | \vec{A B} | | \vec{A C} | \sin ∠ A = \frac{1}{2} | \vec{A B} \times \vec{A C} | \end{array}